Đề Toán chuyên thi lớp 10 gây xôn xao vì 'không thể chứng minh'

Gần 1.500 học sinh đã hoàn thành kỳ thi vào lớp 10 trường THPT chuyên Vĩnh Phúc, ba ngày trước. Trong đó, khoảng 300 em đăng ký vào lớp chuyên Toán và Tin.

Đề thi Toán chuyên dành cho nhóm này gồm 6 câu, thời gian làm bài 150 phút. Câu 6 về tổ hợp, giá trị 1 điểm, như sau:

Số nguyên dương n được gọi là số CVP nếu: Với mọi n số nguyên x1, x2, x3,..., xn thuộc {1; 2;...; n} sao cho x1 + x2 + x3 + ... + xn là số chẵn, thì tồn tại một cách chọn dấu + hoặc dấu - để x1 ± x2 ± x3 ± ... ± xn bằng 0 hoặc 2.

Chứng minh rằng:

a. 3 là số CVP.

b. 2025 là số CVP.

Sau kỳ thi, nhiều học sinh và giáo viên cho rằng ý b bị lỗi, vì không thể chứng minh giả thiết là đúng.

Phúc Long, trường THCS Vĩnh Yên, làm tới câu 6 khi thời gian làm bài còn khoảng 10 phút. Nam sinh nhanh chóng giải được ý a, nhưng tới ý b, Long "thấy sai sai".

"Em cảm giác đề không đúng lắm, sau khi thử x2025 = 4. Lúc này, tổng của dãy số nguyên chẵn, nhưng khi thay dấu + hoặc - vào thì bằng 4 hoặc -4, không phải 0 hoặc 2 như đề bài cho", Long nói.

Loay hoay mất vài phút, Long vẫn không chứng minh được. Nam sinh nộp bài và nghĩ do mình chưa hiểu đúng đề. Nhưng sau khi trao đổi với bạn bè và nghĩ thêm, Long nhận định đề bị lỗi.

Điểm môn chuyên nhân hệ số hai nên nam sinh cho rằng đây là điều đáng tiếc, bởi cách biệt 0,25 cũng có thể ảnh hưởng tới kết quả.

Lời giải chi tiết:

Cô Phạm Thị Kim Huệ, Phó hiệu trưởng kiêm giáo viên môn Toán trường THCS Chương Dương, Hà Nội, cũng nhận định câu 6b trong đề thi bị lỗi.

Cô giải thích, các số x1, x2, x3, .... x2025 có thể giống hoặc khác nhau. Nếu khác nhau, thì x1 tới x2025 sẽ là các số nguyên từ 1 tới 2025. Tuy nhiên, tổng của dãy số này là số lẻ, trái với giả thiết số chẵn của đề bài, nên trường hợp này loại.

Còn nếu từ x1 tới x2025 là các số giống nhau (có thể vài số giống nhau hoặc tất cả là cùng một số), thì sẽ có trường hợp không thể đặt dấu + hoặc - để dãy này ra kết quả là 0 hoặc 2. Điều này tiếp tục vi phạm giả thiết của đề bài.

Cô Huệ lấy ví dụ khi x = 4. Tổng của 2025 số 4 là một số chẵn, nhưng không có cách nào đặt dấu + hoặc - trong dãy có 2025 số 4 này để có kết quả là 0 hoặc 2.

"Các chứng minh trong Toán học là phải đúng mọi lúc. Chỉ cần một trường hợp không đúng, tức định lý hoặc điều cần chứng minh đó là sai", cô Huệ nói.

Thầy Võ Quốc Bá Cẩn, giáo viên Toán trường Archimedes Academy, Hà Nội, đồng tình. Theo thầy, không có cách nào chứng minh 2025 là số CVP như đề bài yêu cầu.

Cách phân tích của thầy Cẩn tương tự cô Huệ. Thầy lấy ví dụ: Nếu chọn x1 = 6, x2 = 3, x3 = x4 = ... = x2025 = 2025, thì tổng của dãy này là số chẵn (đáp ứng yêu cầu thứ nhất của đề). Tuy nhiên, không có cách nào để biểu thức 6 ± 3 ± 2025 ± 2025 ± ... ± 2025 bằng 0 hoặc 2 (vi phạm yêu cầu thứ hai).

"Đây là điều đáng tiếc, vì tôi thấy đề thi Toán vào lớp 10 chuyên của Vĩnh Phúc có nhiều dạng bài, độ khó vừa phải, kiểm tra được những kiến thức cần thiết ở một học sinh trường chuyên. Nếu câu 6b không có vấn đề, đây sẽ là đề thi trọn vẹn, đủ đẹp", thầy Cẩn nói.

Trên một số diễn đàn Toán học, nhiều giáo viên chung nhận định là đề bị lỗi hoặc thiếu điều kiện.

Trả lời VnExpress, một cán bộ của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Vĩnh Phúc cho biết đã tiếp nhận phản ánh về đề thi và đang rà soát, trao đổi với đội ngũ chuyên môn.

Theo thầy Cẩn, nếu kết luận đề bị lỗi, Sở có thể bỏ hẳn ý 6b, chuyển điểm từ câu này sang những câu ở trên; cộng điểm phần này cho tất cả thí sinh hoặc tổ chức thi lại môn Toán chuyên. Dù vậy, thầy thấy rằng cách làm nào cũng có nhược điểm, có thể gây bất công hoặc ảnh hưởng những thí sinh đã làm tốt bài.

"Hy vọng hội đồng tuyển sinh có thể đưa ra giải pháp chu toàn, đảm bảo quyền lợi học sinh", thầy Cẩn nói.

Đây cũng là điều Phúc Long mong muốn. Nam sinh cho rằng nếu đề sai, tất cả thí sinh nên được cộng điểm để đảm bảo công bằng.

Năm nay, Vĩnh Phúc có hơn 18.500 thí sinh dự thi lớp 10 công lập, trong tổng 20.400 em tốt nghiệp THCS. Các trường công đáp ứng được 14.600 suất học, tương đương 77%.

Kỳ thi vào lớp 10 diễn ra ngày 1-2/6 với ba môn Toán, Ngữ văn, Tiếng Anh, học sinh thi trường chuyên sẽ làm thêm bài thi chuyên vào ngày 3/6.

Điểm thi lớp 10 ở Vĩnh Phúc dự kiến được công bố trong tháng 6.